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选择题
下列运算中错误的是（ ）
A. $5^{\frac{2}{3}}\times 5^{\frac{4}{3}}=25$
B. $5^{\frac{3}{2}}\div 5^{\frac{2}{3}}=5$
C. $\left(5^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}=5$
D. $5^{-\frac{2}{3}}\times 5^{\frac{2}{3}}=1$
答案: B
A：同底数幂相乘，指数相加：$\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}=2$，$5^2=25$，正确。
B：同底数幂相除，指数相减：$\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}-\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{6}$，结果为 $5^{\frac{5}{6}}\neq 5$，错误，选 B。
C：幂的乘方，指数相乘：$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{2}=1$，结果为 $5$，正确。
D：$-\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=0$，结果为 $5^0=1$，正确。
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选择题
下列运算中错误的是（ ）
A. $\log_2\dfrac{1}{16}=4$
B. $\lg 0.0001=-4$
C. $\log_2\sqrt{8}=\dfrac{3}{2}$
D. $\ln\sqrt[3]{e^2}=\dfrac{2}{3}$
答案: A
A：$\dfrac{1}{16}=2^{-4}$，故 $\log_2\dfrac{1}{16}=-4\neq 4$，错误，选 A。
B：$0.0001=10^{-4}$，故 $\lg 0.0001=-4$，正确。
C：$\sqrt{8}=8^{\frac{1}{2}}=\left(2^3\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$，故 $\log_2\sqrt{8}=\dfrac{3}{2}$，正确。
D：$\sqrt[3]{e^2}=e^{\frac{2}{3}}$，故 $\ln\sqrt[3]{e^2}=\dfrac{2}{3}$，正确。
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选择题
与不等式 $(x-3)(x+5)\gt 0$ 的解集相同的不等式为（ ）
A. $(x+3)(x-5)\gt 0$
B. $(3-x)(5+x)\gt 0$
C. $(x+3)(x-5)\lt 0$
D. $(3-x)(5+x)\lt 0$
答案: D
1. 原不等式零点为 $x=-5,\ x=3$，开口向上，故解集为 $x\lt -5$ 或 $x\gt 3$。
2. D：$(3-x)(5+x)\lt 0$，两边同乘 $-1$ 并改变不等号方向：$(x-3)(5+x)\gt 0$，即 $(x-3)(x+5)\gt 0$，与原不等式完全一致，选 D。
3. 验证 A、C：零点为 $-3,5$，解集与原式不同；B 等价于 $(x-3)(x+5)\lt 0$，解集为 $(-5,3)$，也不同。
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选择题
一元二次方程 $x^2+(k-2)x+9=0$ 有两个不相等的实数解的条件是 $k\in$（ ）
A. $(-4,8)$
B. $[-4,8)$
C. $(-\infty,-4]\cup[8,+\infty)$
D. $(-\infty,-4)\cup(8,+\infty)$
答案: D
1. 有两个不相等的实数解 $\iff \Delta\gt 0$。
2. $\Delta=(k-2)^2-4\times 1\times 9=(k-2)^2-36$。
3. 令 $(k-2)^2-36\gt 0$，得 $(k-2)^2\gt 36$，即 $|k-2|\gt 6$。
4. 所以 $k-2\gt 6$ 或 $k-2\lt -6$，即 $k\gt 8$ 或 $k\lt -4$，解集为 $(-\infty,-4)\cup(8,+\infty)$，选 D。
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选择题
下列函数中为偶函数的是（ ）
A. $f(x)=x\sqrt{1+x^2}$
B. $f(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$
C. $f(x)=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$
D. $f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}$
答案: D
A：$f(-x)=-x\sqrt{1+x^2}=-f(x)$，为奇函数。
B：$f(-x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\ln\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=-f(x)$，为奇函数。（利用 $\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1$）
C：化简 $\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=\dfrac{2\cos^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\cot\dfrac{x}{2}$，为奇函数。
D：$e^x-e^{-x}$ 是奇函数，$\sin x$ 是奇函数，"奇函数÷奇函数"为偶函数。直接验证：$f(-x)=\dfrac{e^{-x}-e^{x}}{\sin(-x)}=\dfrac{-(e^x-e^{-x})}{-\sin x}=f(x)$，选 D。
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选择题
函数 $f(x)=x\cos 2x$ 是（ ）
A. 周期函数
B. 奇函数
C. 有界函数
D. 偶函数
答案: B
1. $f(-x)=(-x)\cos(-2x)=-x\cos 2x=-f(x)$，故 $f(x)$ 为奇函数，选 B。
2. 排除 D：$f(-x)\neq f(x)$，不是偶函数。
3. 排除 A：若 $T$ 为周期，需 $x\cos 2x=(x+T)\cos 2(x+T)$ 对一切 $x$ 成立，实际不可能，不是周期函数。
4. 排除 C：当 $x\to +\infty$ 时 $|f(x)|$ 无界，不是有界函数。
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选择题
函数 $y=\ln(x+1)$ 的定义域为（ ）
A. $(-1,+\infty)$
B. $(1,+\infty)$
C. $[-1,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$
答案: A
1. 对数函数的真数必须大于零：$x+1\gt 0$。
2. 解得 $x\gt -1$，即定义域为 $(-1,+\infty)$，选 A。
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选择题
函数 $y=\arcsin\dfrac{2x-1}{7}$ 的定义域是（ ）
A. $(-3,4)$
B. $[-3,4)$
C. $[-3,4]$
D. $(-3,4]$
答案: C
1. 反正弦函数要求自变量在 $[-1,1]$ 内：$-1\leq\dfrac{2x-1}{7}\leq 1$。
2. 三边同乘 $7$：$-7\leq 2x-1\leq 7$。
3. 各边加 $1$：$-6\leq 2x\leq 8$，再除以 $2$ 得 $-3\leq x\leq 4$。
4. 定义域为 $[-3,4]$，选 C。
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选择题
函数 $y=\sqrt{x^2-x-6}$ 的定义域是（ ）
A. $(3,+\infty)$
B. $(-\infty,-2]$
C. $[-2,3]$
D. $(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$
答案: D
1. 偶次根式要求被开方数非负：$x^2-x-6\geq 0$。
2. 因式分解：$(x-3)(x+2)\geq 0$，零点为 $x=-2,\ x=3$，开口向上。
3. 二次不等式 $\geq 0$ 取两根之外的区间：$x\leq -2$ 或 $x\geq 3$。
4. 定义域为 $(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)$，选 D。
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选择题
函数 $y=\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{\lg(x+2)}$ 的定义域是（ ）
A. $[-2,3]$
B. $[-3,3]$
C. $(-2,-1)\cup(-1,3]$
D. $(-3,3)$
答案: C
1. 根式：$9-x^2\geq 0$，即 $-3\leq x\leq 3$。
2. 对数真数：$x+2\gt 0$，即 $x\gt -2$。
3. 分母不为零：$\lg(x+2)\neq 0$，即 $x+2\neq 1$，$x\neq -1$。
4. 取交集：$-2\lt x\leq 3$ 且 $x\neq -1$，即 $(-2,-1)\cup(-1,3]$，选 C。
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选择题
函数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}+\sin x^2$ 的定义域是（ ）
A. $(-2,-1)$
B. $(-1,2)$
C. $(-2,-1)\cup(2,+\infty)$
D. $(2,+\infty)$
答案: D
1. $\sqrt{x-2}$ 位于分母，既要被开方数非负、又要分式不为零，故只需 $x-2\gt 0$，得 $x\gt 2$。
2. $\sin x^2$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 都有定义，不产生附加限制。
3. 定义域为 $(2,+\infty)$，选 D。
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选择题
函数 $y=\arccos\dfrac{2x-1}{3}+(x-1)^{-1}$ 的定义域是（ ）
A. $[-1,1)\cup(1,2]$
B. $(-1,1)\cup(1,2)$
C. $[-1,2]$
D. $(-1,2)$
答案: A
1. 反余弦要求 $-1\leq\dfrac{2x-1}{3}\leq 1$，即 $-3\leq 2x-1\leq 3$。
2. 解得 $-2\leq 2x\leq 4$，即 $-1\leq x\leq 2$。
3. $(x-1)^{-1}=\dfrac{1}{x-1}$ 要求 $x\neq 1$。
4. 取交集：$[-1,1)\cup(1,2]$，选 A。
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选择题
$y=\sqrt{x^2-1}+\lg(x+2)$ 的定义域为（ ）
A. $(-2,+\infty)$
B. $(1,+\infty)$
C. $(-2,-1]\cup[1,+\infty)$
D. $(-2,-1)$
答案: C
1. 根式：$x^2-1\geq 0$，即 $x\leq -1$ 或 $x\geq 1$。
2. 对数：$x+2\gt 0$，即 $x\gt -2$。
3. 取交集：$-2\lt x\leq -1$ 或 $x\geq 1$，即 $(-2,-1]\cup[1,+\infty)$，选 C。
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选择题
函数 $f(x)=\begin{cases}x-3, & -4\leq x\leq 0\\ x^2+1, & 0\lt x\leq 3\end{cases}$ 的定义域是（ ）
A. $[-4,3]$
B. $[-4,0]$
C. $[0,3]$
D. $[-4,3]$
答案: A（与 D 的区间相同，均为 $[-4,3]$）
1. 分段函数在每一段上有定义的 $x$ 合起来就是定义域。
2. 第一段对应 $[-4,0]$，第二段对应 $(0,3]$。
3. 并集为 $[-4,0]\cup(0,3]=[-4,3]$。
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选择题
下列函数的定义域为 $[-1,1]$ 的是（ ）
A. $y=\ln(1-x^2)$
B. $y=e^{\sin x}$
C. $y=\sqrt{2-x^2}+\arcsin x$
D. $y=(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}$
答案: C
A：$1-x^2\gt 0$，定义域为 $(-1,1)$，不含端点。
B：$e^{\sin x}$ 对一切实数有定义，定义域为 $\mathbb{R}$。
C：$\sqrt{2-x^2}$ 要求 $|x|\leq\sqrt{2}\approx 1.414$；$\arcsin x$ 要求 $-1\leq x\leq 1$。取交集恰为 $[-1,1]$，符合。
D：$(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，要求 $1-x^2\gt 0$，定义域为 $(-1,1)$。
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选择题
函数 $y=\lg(1-\lg x)$ 的定义域是（ ）
A. $[1,10)$
B. $(1,10]$
C. $(0,10)$
D. $(0,10]$
答案: C
1. 外层对数真数：$1-\lg x\gt 0$，即 $\lg x\lt 1$，由 $\lg$ 单调递增得 $x\lt 10$。
2. 内层对数真数：$x\gt 0$。
3. 取交集：$0\lt x\lt 10$，定义域为 $(0,10)$，选 C。
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选择题
下列四组函数中 $f(x)$ 与 $g(x)$ 表示同一函数的是（ ）
A. $f(x)=\tan x,\ g(x)=\dfrac{1}{\cot x}$
B. $f(x)=\ln x^3,\ g(x)=3\ln x$
C. $f(x)=\sqrt{x^4-x^3},\ g(x)=x\sqrt{x^2-x}$
D. $f(x)=\ln(x^2-1),\ g(x)=\ln(x-1)+\ln(x+1)$
答案: B
A：$\tan x$ 在 $x=k\pi$ 处有定义且值为 $0$，而 $\dfrac{1}{\cot x}$ 在 $x=k\pi$ 处无定义（$\cot x$ 为分母且为 $0$），定义域不同。
B：$\ln x^3$ 要求 $x^3\gt 0$，即 $x\gt 0$；$3\ln x$ 要求 $x\gt 0$。定义域相同，且由对数运算律（$x\gt 0$ 时）$\ln x^3=3\ln x$ 恒成立，为同一函数，选 B。
C：$x^4-x^3=x^3(x-1)\geq 0$ 得 $x\leq 0$ 或 $x\geq 1$。取 $x=-1$：$f(-1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，而 $g(-1)=-1\cdot\sqrt{1+1}=-\sqrt{2}$，对应关系不同。
D：$\ln(x^2-1)$ 定义域为 $|x|\gt 1$；$\ln(x-1)+\ln(x+1)$ 要求 $x\gt 1$，定义域不同。
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选择题
下列选项中，函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 相同的是（ ）
A. $f(x)=\ln x^2,\ g(x)=2\ln x$
B. $f(x)=\sin x,\ g(x)=\sqrt{1-\cos^2 x}$
C. $f(x)=\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right),\ g(x)=-\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$
D. $f(x)=1,\ g(x)=\dfrac{x}{x}$
答案: C
A：$\ln x^2$ 要求 $x\neq 0$；$2\ln x$ 要求 $x\gt 0$，定义域不同。
B：$\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|$，与 $\sin x$ 对应关系不同（如取 $x=-\dfrac{\pi}{2}$ 时分别得 $-1$ 与 $1$）。
C：由 $\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=1$ 得 $\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$，两边取自然对数即 $\ln\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=-\ln\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$，且两函数定义域均为 $\mathbb{R}$，相同，选 C。
D：$\dfrac{x}{x}$ 要求 $x\neq 0$，与 $f(x)\equiv 1$ 定义域不同。
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选择题
设 $f(3x)=3^x$，则 $f(x)=$（ ）
A. $3^{3x}$
B. $3^{\frac{x}{3}}$
C. $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$
D. $3$
答案: B
1. 换元：令 $t=3x$，则 $x=\dfrac{t}{3}$。
2. 代入已知关系式：$f(t)=3^{\frac{t}{3}}$。
3. 将 $t$ 换回 $x$：$f(x)=3^{\frac{x}{3}}$，选 B。
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选择题
下列函数中，是奇函数的为（ ）
A. $y=x^4+x^2+1$
B. $y=x\sin x^2$
C. $y=x^3-e^{-x^2}$
D. $y=\ln^2 x$
答案: B
A：各项都是偶次幂，$f(-x)=f(x)$，为偶函数。
B：$x$ 为奇函数，$\sin x^2$ 为偶函数（$\sin(-x)^2=\sin x^2$），"奇×偶=奇"，$f(-x)=(-x)\sin x^2=-f(x)$，是奇函数，选 B。
C：$x^3$ 为奇函数，$e^{-x^2}$ 为偶函数，二者相减既非奇也非偶。检验：$f(1)=1-e^{-1}$，$f(-1)=-1-e^{-1}$，$-f(1)=-1+e^{-1}\neq f(-1)$。
D：定义域 $x\gt 0$，不关于原点对称，无奇偶性。
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选择题
函数 $f(x)=\ln\dfrac{1-x}{1+x}$ 是（ ）
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 不能确定奇偶性
答案: A
1. 求定义域：$\dfrac{1-x}{1+x}\gt 0$，即 $(1-x)(1+x)\gt 0$，得 $-1\lt x\lt 1$，关于原点对称。
2. $f(-x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}=\ln\left[\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{-1}\right]=-\ln\dfrac{1-x}{1+x}=-f(x)$。
3. 故 $f(x)$ 为奇函数，选 A。
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选择题
设 $f(x)$ 为奇函数，则 $F(x)=f(x)\left(2^x+2^{-x}\right)$ 为（ ）
A. 偶函数
B. 奇函数
C. 非奇非偶函数
D. 无法判定奇偶性
答案: B
1. 记 $h(x)=2^x+2^{-x}$，则 $h(-x)=2^{-x}+2^{x}=h(x)$，$h(x)$ 为偶函数。
2. $f(x)$ 为奇函数，$h(x)$ 为偶函数，"奇×偶=奇"，故 $F(x)$ 为奇函数。
3. 直接验证：$F(-x)=f(-x)\left(2^{-x}+2^{x}\right)=-f(x)\left(2^x+2^{-x}\right)=-F(x)$，选 B。
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选择题
定义域为 $(-\infty,+\infty)$ 的四个函数 $y=x^3,\ y=2^x,\ y=x^2+1,\ y=2\sin x$ 中，奇函数的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案: C
1. $y=x^3$：$(-x)^3=-x^3$，是奇函数。
2. $y=2^x$：$2^{-x}\neq -2^x$ 且 $\neq 2^x$，既非奇也非偶。
3. $y=x^2+1$：$(-x)^2+1=x^2+1$，是偶函数。
4. $y=2\sin x$：$f(-x)=2\sin(-x)=-2\sin x=-f(x)$，是奇函数。
5. 奇函数共 2 个，选 C。
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选择题
函数 $y=f(x)$ 的图象关于原点对称，则下列关系式成立的是（ ）
A. $f(x)+f(-x)=0$
B. $f(x)-f(-x)=0$
C. $f(x)+f^{-1}(x)=0$
D. $f(x)-f^{-1}(x)=0$
答案: A
1. 图象关于原点对称 $\iff$ 对定义域内任意 $x$，点 $(x,f(x))$ 的对称点 $(-x,-f(x))$ 也在图象上，即 $f(-x)=-f(x)$。
2. 即 $f(x)+f(-x)=0$，选 A。
3. B 是图象关于 $y$ 轴对称（偶函数）的特征；C、D 涉及反函数，图象关于原点对称与 $f^{-1}$ 的取值没有这种必然等式关系。
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选择题
函数 $f(x)=\dfrac{x}{9+x^2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是（ ）
A. 有界函数
B. 单调函数
C. 周期函数
D. 偶函数
答案: A
1. 奇偶性：$f(-x)=\dfrac{-x}{9+(-x)^2}=-f(x)$，为奇函数，故 D 错。
2. 有界性：$9+x^2\geq 2\cdot 3\cdot|x|=6|x|$（当 $|x|=3$ 时取等号），故 $|f(x)|=\dfrac{|x|}{9+x^2}\leq\dfrac{1}{6}$，函数有界，A 对。
3. 单调性：$f(1)=0.1,\ f(3)=\dfrac{1}{6}\approx 0.167,\ f(9)=0.1$，先增后减，在 $\mathbb{R}$ 上不单调，B 错。
4. 周期性：非零周期函数不可能在 $x\to\pm\infty$ 时趋于 $0$，而 $f(x)\to 0$，故不是周期函数，C 错。
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选择题
函数 $y=\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期是（ ）
A. $\dfrac{\pi}{2}$
B. $\pi$
C. $\dfrac{\pi}{4}$
D. $\dfrac{\pi}{6}$
答案: B
1. 对 $y=\sin(\omega x+\varphi)$，最小正周期 $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$。
2. 这里 $\omega=2$，故 $T=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$，选 B。
3. 说明：相位常数 $\dfrac{\pi}{4}$ 只影响图象平移，不影响周期。
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选择题
设函数 $f(x)=1+3^x$ 的反函数为 $g(x)$，则 $g(10)=$（ ）
A. $-2$
B. $-1$
C. $2$
D. $3$
答案: C
1. $g(10)$ 就是使 $f(x)=10$ 的那个 $x$：$1+3^x=10$。
2. 解得 $3^x=9=3^2$，故 $x=2$。
3. 所以 $g(10)=2$，选 C。
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选择题
曲线 $y=x^3$ 与 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 关于 ________ 对称。（ ）
A. $x$ 轴
B. $y$ 轴
C. 直线 $y=x$
D. 原点
答案: C
1. $y=x^3$ 与 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 互为反函数：把 $y=x^3$ 中的 $x,y$ 互换即得 $x=y^3$，也就是 $y=x^{\frac{1}{3}}$。
2. 互为反函数的两个函数，其图象关于直线 $y=x$ 对称，选 C。
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选择题
已知 $y=f(x)$ 是定义在区间 $[1,5]$ 上的单调函数，值域为 $[2,7]$，则其反函数 $x=\varphi(y)$ 的值域为（ ）
A. $[1,5]$
B. $[2,7]$
C. $(1,5]$
D. $[2,7)$
答案: A
1. 反函数 $x=\varphi(y)$ 的"输入"是原函数的"输出"，即定义域为原函数的值域 $[2,7]$。
2. 反函数 $x=\varphi(y)$ 的"输出"是原函数的"输入"，即值域为原函数的定义域 $[1,5]$。
3. 所以值域为 $[1,5]$，选 A。（此题不因单调递增或递减而改变结论。）
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选择题
函数 $y=\operatorname{arccot}\left(\cos e^x\right)$ 是由哪些初等函数复合而成的（ ）
A. $y=\cos u,\ u=e^v,\ v=\operatorname{arccot} x$
B. $y=e^u,\ u=e^v,\ v=\cos x$
C. $y=\operatorname{arccot} u,\ u=\cos v,\ v=e^x$
D. $y=\operatorname{arccot} u,\ u=e^v,\ v=\cos x$
答案: C
1. 由外到内逐层拆解：最外层是反余切函数 $y=\operatorname{arccot} u$。
2. 中间层是余弦函数 $u=\cos v$。
3. 最内层是指数函数 $v=e^x$。
4. 与 C 完全一致，选 C。
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填空题
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}+125^{\frac{2}{3}}-\left(\dfrac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=$
答案: $\dfrac{86}{3}$
1. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=2^{2}=4$。
2. $125^{\frac{2}{3}}=\left(5^3\right)^{\frac{2}{3}}=5^{2}=25$。
3. $\left(\dfrac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{27}}=\dfrac{1}{3}$。
4. 原式 $=4+25-\dfrac{1}{3}=29-\dfrac{1}{3}=\dfrac{87}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{86}{3}$。
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填空题
所有指数函数的图象都经过点 ；所有对数函数的图象都经过点 。
答案: $(0,1)$；$(1,0)$
1. 指数函数 $y=a^x\ (a\gt 0,\ a\neq 1)$：令 $x=0$，得 $y=a^0=1$，图象恒过点 $(0,1)$。
2. 对数函数 $y=\log_a x\ (a\gt 0,\ a\neq 1)$：令 $x=1$，得 $y=\log_a 1=0$，图象恒过点 $(1,0)$。
3. 这两个点正是"指数函数与对数函数互为反函数、图象关于 $y=x$ 对称"的体现。
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填空题
若 $\log_{0.4}a\lt\log_{0.4}b$，则 $a$ $b$（填 "$\gt$" 或 "$\lt$"）。
答案: $a\gt b$（填 "$\gt$"）
1. 底数 $0.4$ 满足 $0\lt 0.4\lt 1$，对数函数 $y=\log_{0.4}x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。
2. 由 $\log_{0.4}a\lt\log_{0.4}b$ 及单调递减，得 $a\gt b$。
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填空题
不等式 $2x+3-x^2\gt 0$ 的解集为
答案: $(-1,3)$
1. 移项并两边乘 $-1$（不等号变向）：$x^2-2x-3\lt 0$。
2. 因式分解：$(x-3)(x+1)\lt 0$，零点为 $x=-1,\ x=3$。
3. 开口向上，小于零的解集在两根之间：$-1\lt x\lt 3$，即 $(-1,3)$。
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填空题
已知 $f(x-1)=\dfrac{x-1}{x+1}$，则有 $f(x)=$
答案: $f(x)=\dfrac{x}{x+2}$
1. 换元：令 $t=x-1$，则 $x=t+1$。
2. 代入右端：$f(t)=\dfrac{t}{(t+1)+1}=\dfrac{t}{t+2}$。
3. 换回字母：$f(x)=\dfrac{x}{x+2}$（$x\neq -2$）。
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填空题
函数 $y=\dfrac{\arcsin|1-x|}{\sqrt{2-e^x}}$ 的定义域用区间表示为
答案: $[0,\ln 2)$
1. 反正弦要求 $|1-x|\leq 1$，即 $-1\leq 1-x\leq 1$，解得 $0\leq x\leq 2$。
2. 分母 $\sqrt{2-e^x}$ 要求 $2-e^x\gt 0$，即 $e^x\lt 2$，得 $x\lt\ln 2$。
3. 取交集：$0\leq x\lt\ln 2$，即 $[0,\ln 2)$。（$\ln 2\approx 0.693\lt 2$，此区间非空。）
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填空题
函数 $f(x)=\sqrt{1-3^x}$ 的定义域是
答案: $(-\infty,0]$
1. 被开方数非负：$1-3^x\geq 0$，即 $3^x\leq 1$。
2. 因为 $1=3^0$ 且 $y=3^x$ 单调递增，所以 $x\leq 0$。
3. 定义域为 $(-\infty,0]$。
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填空题
函数 $y=\ln(\ln x)$ 的定义域是
答案: $(1,+\infty)$
1. 内层对数要求 $x\gt 0$。
2. 外层对数要求真数 $\ln x\gt 0$，即 $x\gt 1$。
3. 取交集得 $x\gt 1$，定义域为 $(1,+\infty)$。
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填空题
设函数 $y=f(x^3)$ 的定义域为 $[1,2]$，则 $f(x)$ 的定义域是
答案: $[1,8]$
1. 已知 $x\in[1,2]$ 时 $y=f(x^3)$ 有意义，说明内层的输出 $x^3$ 落在外层 $f$ 的定义域内。
2. 由 $x\in[1,2]$ 得 $x^3\in[1,8]$。
3. 故 $f(x)$ 的定义域为 $[1,8]$。
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填空题
若 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$，则 $f(x^2)$ 的定义域是
答案: $[-1,1]$
1. $f(x^2)$ 有意义要求内层输出 $x^2$ 满足 $f$ 的定义域约束：$0\leq x^2\leq 1$。
2. $x^2\leq 1$ 即 $|x|\leq 1$，得 $-1\leq x\leq 1$。
3. 定义域为 $[-1,1]$。
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填空题
已知 $f(x)=2x^2+1$，则 $f(2x+1)=$
答案: $8x^2+8x+3$
1. 代入：$f(2x+1)=2(2x+1)^2+1$。
2. 展开：$(2x+1)^2=4x^2+4x+1$。
3. 计算：$2(4x^2+4x+1)+1=8x^2+8x+2+1=8x^2+8x+3$。
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填空题
设 $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$，则 $f\left[f(x)\right]=$
答案: $-\dfrac{1}{x}$
1. 按定义代入：$f\left[f(x)\right]=\dfrac{f(x)-1}{f(x)+1}$。
2. 分子：$\dfrac{x-1}{x+1}-1=\dfrac{x-1-(x+1)}{x+1}=\dfrac{-2}{x+1}$。
3. 分母：$\dfrac{x-1}{x+1}+1=\dfrac{x-1+(x+1)}{x+1}=\dfrac{2x}{x+1}$。
4. 相除：$\dfrac{-2/(x+1)}{2x/(x+1)}=-\dfrac{2}{2x}=-\dfrac{1}{x}$（$x\neq 0$ 且 $x\neq -1$）。
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填空题
如果 $f(x)=\dfrac{x}{1-x}$，则 $f\left[\dfrac{1}{f(x)}\right]=$
答案: $\dfrac{1-x}{2x-1}$
1. 先求内层：$\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1-x}{x}$。
2. 代入 $f$：$f\left[\dfrac{1-x}{x}\right]=\dfrac{(1-x)/x}{1-(1-x)/x}$。
3. 分母化简：$1-\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{x-(1-x)}{x}=\dfrac{2x-1}{x}$。
4. 相除：$\dfrac{(1-x)/x}{(2x-1)/x}=\dfrac{1-x}{2x-1}$（$x\neq 0,\ x\neq 1,\ x\neq\dfrac{1}{2}$）。
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填空题
设函数 $f(x)=\begin{cases}2, & |x|\lt 1\\ 0, & |x|\geq 1\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}0, & |x|\leq 2\\ 1, & |x|\gt 2\end{cases}$，则 $f\left[g(x)\right]=$ ，$g\left[f(x)\right]=$
答案: $f\left[g(x)\right]=\begin{cases}2, & |x|\leq 2\\ 0, & |x|\gt 2\end{cases}$；$g\left[f(x)\right]=0$
1. 求 $f\left[g(x)\right]$：$g(x)$ 的取值只能是 $0$ 或 $1$。
2. 当 $g(x)=0$ 时 $|0|=0\lt 1$，故 $f(0)=2$；当 $g(x)=1$ 时 $|1|=1\geq 1$，故 $f(1)=0$。
3. 而 $g(x)=0\iff |x|\leq 2$，$g(x)=1\iff |x|\gt 2$。所以 $f\left[g(x)\right]=2\ (|x|\leq 2)$，$f\left[g(x)\right]=0\ (|x|\gt 2)$。
4. 求 $g\left[f(x)\right]$：$f(x)$ 的取值只能是 $0$ 或 $2$，均有 $|f(x)|\leq 2$。
5. 由 $g$ 的定义，自变量绝对值不大于 $2$ 时函数值为 $0$，故 $g\left[f(x)\right]=0$ 恒成立。
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填空题
已知 $f(x+5)=x^2+5x$，则 $f(x)=$
答案: $f(x)=x^2-5x$
1. 换元：令 $t=x+5$，则 $x=t-5$。
2. 代入：$f(t)=(t-5)^2+5(t-5)=t^2-10t+25+5t-25$。
3. 整理：$f(t)=t^2-5t$，故 $f(x)=x^2-5x$。
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填空题
已知函数 $f(x)=\ln(x+5)$，$f\left[g(x)\right]=x^2$，则 $g(x)=$
答案: $g(x)=e^{x^2}-5$
1. 代入定义：$f\left[g(x)\right]=\ln\left(g(x)+5\right)=x^2$。
2. 由对数定义转化为指数形式：$g(x)+5=e^{x^2}$。
3. 解得 $g(x)=e^{x^2}-5$（此时 $g(x)+5=e^{x^2}\gt 0$，满足对数真数为正的要求）。
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填空题
函数 $f(x)=\ln\left(2x+\sqrt{4x^2+1}\right)$ 是 函数，其图象关于 对称。
答案: 奇函数；关于原点对称
1. 先说明定义域：$2x+\sqrt{4x^2+1}\gt 0$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 成立（$\sqrt{4x^2+1}\gt 2|x|\geq -2x$），故定义域为 $\mathbb{R}$，关于原点对称。
2. 关键恒等式：$\left(\sqrt{4x^2+1}-2x\right)\left(\sqrt{4x^2+1}+2x\right)=(4x^2+1)-4x^2=1$，所以 $\sqrt{4x^2+1}-2x=\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}+2x}$。
3. 于是 $f(-x)=\ln\left(\sqrt{4x^2+1}-2x\right)=\ln\dfrac{1}{2x+\sqrt{4x^2+1}}=-f(x)$。
4. $f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称。
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填空题
若函数 $f(x)=\lg\left(x+\sqrt{x^2+2a}\right)$ 是奇函数，则 $a=$
答案: $a=\dfrac{1}{2}$
1. 奇函数要求 $f(-x)=-f(x)$，即 $\lg\left(-x+\sqrt{x^2+2a}\right)=-\lg\left(x+\sqrt{x^2+2a}\right)$。
2. 由对数运算等价于 $\left(-x+\sqrt{x^2+2a}\right)\left(x+\sqrt{x^2+2a}\right)=1$。
3. 左边 $=\left(x^2+2a\right)-x^2=2a$，故 $2a=1$，得 $a=\dfrac{1}{2}$。
4. 此时 $\sqrt{x^2+1}\gt |x|\geq -x$，真数恒正，定义域为 $\mathbb{R}$，满足要求。
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填空题
函数 $f(x)=\sin 4x+\cos 2x$ 的周期为
答案: $\pi$
1. $\sin 4x$ 的最小正周期 $T_1=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$。
2. $\cos 2x$ 的最小正周期 $T_2=\dfrac{2\pi}{2}=\pi$。
3. 取两者的公共周期：$\pi$ 是 $\dfrac{\pi}{2}$ 的整数倍（$2$ 倍），也是 $\pi$ 的整数倍，故最小正周期为 $\pi$。
4. 验证：$f(x+\pi)=\sin(4x+4\pi)+\cos(2x+2\pi)=\sin 4x+\cos 2x=f(x)$。
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填空题
函数 $y=\lg\dfrac{x}{1-x}$ 的反函数为
答案: $y=\dfrac{10^x}{1+10^x}$
1. 由 $y=\lg\dfrac{x}{1-x}$ 得 $10^y=\dfrac{x}{1-x}$。
2. 去分母：$10^y(1-x)=x$，即 $10^y-10^y\cdot x=x$。
3. 移项整理：$10^y=x\left(1+10^y\right)$，故 $x=\dfrac{10^y}{1+10^y}$。
4. 交换 $x,y$ 即得反函数 $y=\dfrac{10^x}{1+10^x}$（原函数定义域为 $0\lt x\lt 1$，即反函数的值域为 $(0,1)$）。
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填空题
若函数 $f(x)$ 的图象过点 $(6,8)$，则函数 $f(x)$ 的反函数的图象必过点
答案: $(8,6)$
1. $f(x)$ 图象过 $(6,8)$ 表示 $f(6)=8$。
2. 由反函数定义得 $f^{-1}(8)=6$。
3. 即反函数图象必过点 $(8,6)$，两图象关于直线 $y=x$ 对称。
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填空题
函数 $y=\arcsin^3\left[\ln\left(x^2-1\right)\right]$ 的复合过程是
答案: $y=u^3,\ u=\arcsin v,\ v=\ln w,\ w=x^2-1$
1. 由外到内逐层拆解：最外层是幂函数 $y=u^3$。
2. 第二层是反正弦函数 $u=\arcsin v$。
3. 第三层是对数函数 $v=\ln w$。
4. 最内层是二次函数（多项式）$w=x^2-1$。